QUÉ FACTORES DETERMINAN EL PRECIO DE LA DEUDA PÚBLICA: UN ANÁLISIS DE VOLATILIDAD IMPLÍCITA DEL CRÉDITO SOBERANO EN MÉXICO SERIE: CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN EN FINANZAS PÚBLICAS MAYO 2018 C U A D E R N O D E I N V E S T I G A C I Ó N 1 Qué factores determinan el precio de la deuda pública: Un análisis de volatilidad implícita del crédito soberano en México Juan Manuel Andrade Hernández, Max Lugo Delgadillo e Irving Arturo De Lira Salvatierra Resumen El presente documento construye una superficie de volatilidad implícita en el crédito (VIC) del sector público en México, durante el periodo comprendido entre enero de 2003 y marzo de 2017; lo anterior, para demostrar que la VIC tiene un mayor poder explicativo sobre el comportamiento del precio de swaps de incumplimiento crediticio (CDS por sus siglas en inglés) de deuda soberana, esto, en comparación con otros factores como el grado de apalancamiento del gobierno o el tiempo restante de maduración de los instrumentos. Más aún, la investigación plantea un modelo estructural que se basa en procesos estocásticos, para determinar cuáles son los componentes más importantes del spread de las opciones put de bonos soberanos. Gracias este enfoque, se logra identificar la importancia que tiene la tendencia, la alta frecuencia y los saltos en la distribución sobre dicho proceso estocástico. El marco de referencia para el análisis, es el trabajo que desarrollan Kelly, Manzo y Palhares (2015), quienes a partir de evidencia empírica, señalan que la evolución del spread de los CDS se explica en mayor medida por el comportamiento de la VIC; a diferencia del grado de apalancamiento o el tiempo de maduración de los bonos que emiten las compañías en los mercados de deuda. En el mismo sentido la presente investigación encuentra que, en comparación con el tiempo de maduración y los niveles de apalancamiento del gobierno, la superficie de la volatilidad implícita es el principal componente que determina los precios de los CDS soberanos de México. Esto es un indicador de que la volatilidad del crédito público está relacionada con las expectativas de los inversionistas, la fragilidad financiera y otros factores externos. Más aún, el modelo estructural propuesto tiene un buen ajuste para explicar la VIC lo que da evidencia de la importancia de incluir procesos estocásticos discontinuos para modelar los precios de las opciones de futuros en los bonos soberanos. Este modelo permite dar indicios de posibles aumentos en los precios de los CDS soberanos lo que indicaría una desconfianza de los inversionistas en el cumplimiento de pagos del gobierno lo cual tiene efectos en la estabilidad macroeconómica. Finalmente, los resultados apuntan a que la determinación de precios está gobernada principalmente por factores externos al modelo; como es el caso de la creencia de los inversionistas, la calificación de la deuda y el estrés financiero, entre otros. 2 Índice 1. Introducción ............................................................................................................... 1 2. Revisión de la literatura .............................................................................................. 3 3. Componentes de la VIC .............................................................................................. 6 4. Consolidación de la información ................................................................................. 7 5. Cálculo de la VIC ......................................................................................................11 6. Modelo estructural .....................................................................................................14 7. Resultados del modelo estructural ..............................................................................22 8. Conclusiones y consideraciones finales ......................................................................29 Bibliografía.......................................................................................................................31 Anexo ...............................................................................................................................33 1 1. Introducción En el marco de las discusiones sobre los efectos macroeconómicos y fiscales que conllevan las políticas expansivas de endeudamiento público, y para contar con más y mejores elementos que enriquezcan el debate informado; el presente documento analiza la volatilidad implícita en el crédito (VIC) de los bonos soberanos en México, esto con el objetivo de precisar su comportamiento y encontrar relaciones estructurales. De forma particular, para el periodo comprendido entre 2003 y 2017, la investigación se enfoca en demostrar que la VICS es el principal factor de un proceso estocástico que explica los movimientos del precio de swaps de incumplimiento crediticio (CDS por sus siglas en inglés) de deuda soberana. Para lograr lo anterior, el marco de referencia es la metodología propuesta por Kelly, Manzo y Palhares (2015), quienes emplean el modelo de Merton (1974) para identificar y calcular la superficie VIC; a partir del grado de volatilidad de la función inversa del precio de una opción put de CDS. Un CDS es análogo a un seguro contratado por los acreedores o tenedores de bonos soberanos. Es decir, una institución financiera (i.e. un banco de inversión) emite un CDS, en el cual se compromete a pagar un monto al tenedor del bono soberano en caso de un incumplimiento en el pago de la deuda por parte del país (emisor de bonos). A su vez, el comprador del CDS paga una prima (análogo a una prima por un seguro) al emisor. Dado que la estructura de un CDS es compleja, resulta complicado estimar y valuar la dinámica de su precio, llamado spread. Una manera de hacer frente a este problema, es modelar los CDS como un derivado, en específico, como un put corto cuyo precio de ejercicio (strike price) es el nivel de apalancamiento. Intuitivamente, en un put corto, el vendedor recibe un pago por el valor de la opción, siempre y cuando el nivel de apalancamiento no supere un umbral establecido. En caso de que el valor de la deuda relativo a los activos del gobierno supere el umbral, lo que significa que éste no pueda cubrir el pago de sus obligaciones; el comprador del put ejercerá el derivado y recibirá un pago por parte del emisor. Esta dinámica es una simplificación de la manera en la que operan los CDS. 2 Adicionalmente, al modelar los CDS a través de un derivado, se pueden obtener diversos factores (no observables), que en general explican la totalidad de la dinámica de los spreads de los CDS, principalmente la volatilidad implícita. Sobre esta última es que se enfoca este artículo, ya que la volatilidad implícita de los contratos put, explica la mayor variación en los precios de los CDS (spreads). Para precisar el grado de volatilidad implícita de la deuda soberana en México, en primer lugar, el estudio necesitó consolidar una base de datos con información de corte diario y mensual. A partir de estos datos se calculan los determinantes de la volatilidad y un modelo estructural que permite pronosticar precios de los CDS. El modelo permite señalar que los cambios en los precios de las opciones para los bonos soberanos están principalmente vinculados a la volatilidad implícita; donde el tiempo restante para la maduración de los diferentes instrumentos y el grado de apalancamiento del gobierno tienen un menor poder explicativo. En este sentido, para una razón de apalancamiento promedio del sector público de 0.71 se identifica una volatilidad implícita promedio de 0.17; resultados que están en línea con los hallazgos de Kelly, Manzo y Palhares (2015) para empresas de alto apalancamiento. Con el fin de precisar cuáles son los componentes más importantes en el precio de las opciones de venta, el modelo planteado es estructural y se basa en procesos estocásticos. A través de este enfoque, se logra identificar la importancia de los procesos estocásticos en la determinación del precio. Por un lado, si los saltos en la distribución tienen un mayor explicativo, implica que la percepción de riesgo de los inversionistas genera un efecto importante sobre el precio de las opciones. Por el otro lado, si los procesos estocásticos de alta frecuencia poseen mayor poder explicativo, significa que factores como las expectativas de los inversores asumen un mayor efecto sobre el precio de las opciones. Por lo tanto, analizar el proceso de determinación de precio ayuda a entender las decisiones y expectativas de los inversionistas y esclarece el proceso por el cual puede haber crisis de pagos e inestabilidad económica derivada de la misma. Para conducir la investigación, la sección 2 del presente documento realiza una revisión de la literatura, la sección 3 aborda los componentes de la VIC, mientras que la sección 4 especifica las fuentes y metodologías de consolidación de la información que se necesitan 3 para construir la VIC. Por su parte, la sección 5 presenta el cálculo la VIC de los bonos soberanos de México, la sección 6 desarrolla el modelo estructural de los componentes del spread de las opciones put de bonos soberanos, la sección 7 expone los resultados del modelo estructural, y por último, la sección 8 muestra las principales conclusiones y consideraciones finales. 2. Revisión de la literatura Esta sección, además de abordar la revisión de la literatura, expone las principales ventajas y contribuciones del modelo estructural que desarrollan Kelly, Manzo y Palhares (2015), para demostrar el poder explicativo que tiene la VIC sobre el precio de las opciones put de CDS. Estos autores, señalan que su estudio está relacionado con distintas líneas de investigación de la literatura empírica acerca del riesgo del crédito; y en un sentido amplio, continúan el trabajo de Merton (1974) al utilizar la fijación de precios de la opción para entender el comportamiento de los reclamos crediticios. Mientras que trabajos anteriores, como el de Vassalou y Xing (2004), estiman la volatilidad de los activos de los bonos para cuantificar el riesgo de incumplimiento. La propuesta de Kelly, Manzo y Palhares (2015) ofrece una nueva perspectiva basada en que la superficie completa de la volatilidad implícita del crédito, puede extraerse de los CDS de diversas firmas a través de distintos vencimientos. Esto, permite a un analista de crédito visualizar e interpretar claramente, los factores de riesgo de incumplimiento que se derivan del vínculo entre los movimientos del precio del crédito. Más aún, estos autores indican que al descomponer estadísticamente la superficie VIC, se puede captar completamente la dinámica superficial con un número pequeño de factores comunes. Dónde lo relevante es, que estos factores poseen un significado económico, al estar asociados con las condiciones crediticias globales y las diferencias en la VIC; esto, a través del vencimiento y el grado de monetización. Cont, Da Fonseca et al. (2002) y Andersen, Fusari y Todorov (2015) realizan descomposiciones similares de la superficie de volatilidad implícita de la opción S&P 500. En el caso de Andersen, Fusari y Todorov (2015) emplean factores estadísticos de la 4 volatilidad implícita de la opción (VIO) para modelar la dinámica de precios y utilizar esto, para desarrollar una especificación estructural significativamente mejorada. En el mismo sentido, el análisis estadístico de los patrones de la VIC que desarrollan Kelly, Manzo y Palhares (2015), proporciona una nueva perspectiva acerca de los principales factores estructurales del riesgo del crédito corporativo. Los autores señalan que para implementar un modelo que describa el comportamiento conjunto de los CDS de todas las firmas y todos los vencimientos, se requieren al menos dos características principales. Primero, debido a que la VIC de las firmas individuales presenta variaciones idiosincrásicas mínimas,1 los activos de las empresas deben guiarse principalmente por variables estado agregadas.2 Segundo, el proceso de crecimiento de activos debe incorporar choques pesados para generar sonrisas de monetización,3 para lo cual, el modelo planteado emplea la volatilidad estocástica y saltos en el crecimiento agregado de los activos. Diversos trabajos han investigado la utilidad de modelos estándar para estimar los precios de opciones y con ello modelar el riesgo crediticio. Entre los ejemplos de modelos estructurales con saltos están los estudios de Mason y Bhattacharya (1981), Zhou (2001), Delianedis y Geske (2001), Hilberink y Rogers (2002), Cremers, Driessen y Maenhout (2008), Chen y Kou (2009), Huang y Huang (2012). Particularmente, los modelos no gaussianos han demostrado ser útiles para entender los spreads del crédito, ya que el puro riesgo gaussiano es incapaz de generar spreads suficientemente grandes para vencimientos cortos y firmas con calificación alta; lo que se conoce como el “rompecabezas del spread del crédito” de Jones, Mason y Rosenfeld (1984). Kelly, Manzo y Palhares (2015) establecen que el rompecabezas tradicional puede reexpresarse con una opción de equivalencia de posición de madurez corta y deuda con calificación alta, que se traduce en una VIC atípicamente alta. En este contexto, la 1 Las variaciones idiosincrásicas son endémicas de un instrumento financiero en particular, como en el caso de un bono o una acción, y no de todo un portafolio de inversiones. 2 Las investigaciones de Coval, Jurek y Stafford (2009) y Cremers, Driessen y Maenhout (2008) conjuntamente modelan los incrementos agregados e idiosincrásicos en el valor de los activos. Ericsson et al. (2009) proponen un modelo relacionado de forma reducida, con distintos procesos agregados y de intensidad idiosincrásica predeterminada. Christoffersen, Fournier y Jacobs (2013) y Kelly, Lustig y Van Nieuwerburgh (por públicarse) a partir de modelos relacionados estudiaron el precio de la sección transversal de las opciones. 3 Son patrones de volatilidad implícitos que tienen la forma de una sonrisa y surgen al fijar el precio de las opciones financieras. 5 superficie de VIC ofrece una perspectiva más completa del rompecabezas del spread del crédito, al proporcionar un mapa global de precios relativos de la deuda contraída. Asimismo, las diferencias pronunciadas en los precios relativos del crédito, no aparecen solamente en vencimientos extremadamente cortos o para créditos con clasificación AA; sino son frecuentes a lo largo del plano vencimiento-monetización. Estos autores indican que su modelo también refina los hechos tradicionales, al mostrar que el grado apalancamiento, en comparación con la calificación u otras nociones de calidad crediticia, capta con mayor precisión las diferencias en los costos relativos del crédito entre las empresas. El aspecto novedoso que está investigación aporta para la teoría del spread del crédito, es entender de qué factores dependen los precios relativos del crédito. El análisis muestra que al menos dos variables de estado son necesarias para hacer coincidir las fluctuaciones persistentes en el nivel y la curvatura de la superficie VIC, y con ello derivar interpretaciones claras de estos factores estocásticos; en términos de una volatilidad variable en el tiempo y riesgos de quiebra en el crecimiento agregado de activos. Por otro lado, en la literatura existen dos enfoques para conducir el análisis empírico. El primer enfoque, calibra los modelos estructurales de los títulos de crédito representativos para cada categoría de calificación; donde se busca, por ejemplo, equiparar los promedios incondicionales de los spreads del crédito para una calificación dada, en lugar de comparar los spreads de cada firma mes a mes. En esta línea de investigación se encuentran los trabajos de Cremers, Driessen y Maenhout (2008), Chen, Collin-Dufresne y Goldstein (2009), Huang y Huang (2012). Un beneficio de este enfoque de calibración es que los modelos pueden ser evaluados con base en su capacidad para igualar los márgenes observados y respetan las tasas de incumplimiento históricas. Sin embargo, un defecto es que la dinámica del riesgo del crédito no puede ser directamente analizada con este enfoque, debido a la poca frecuencia inherente a los incumplimientos históricos. La gran diferencia del segundo enfoque es que éste considera los spreads de CDS de todas las firmas, todos los vencimientos y en cada período de tiempo. Al igual que Kelly, Manzo y Palhares (2015), Huang y Zhou (2008) y Feldhütter y Schaefer (2014) también 6 conducen su investigación con este enfoque de corte transversal, mediante series de tiempo del comportamiento los spreads del crédito. El estudio Feldhütter y Schaefer (2014) señala que, de realizar la calibración individual de una empresa, además de resolver en gran parte el rompecabezas del spread del crédito, se resucita el modelo Merton (1974); ya que demuestra su utilidad como un descriptor viable de los spreads. A pesar de ello Kelly, Manzo y Palhares (2015) indican que, si bien la construcción de su modelo sigue un enfoque de desagregación similar; el fuerte sesgo de monetización y la dinámica de la VIC que estos autores encuentran expone las fallas inmediatas del modelo de Merton (1974), de la misma manera en que los patrones de la VIO rechazan el modelo de Black-Scholes. 3. Componentes de la VIC Como se menciona en los apartados anteriores, el presente estudio está basado en la investigación conducida por Kelly, Manzo y Palhares (2015), quienes emplean el modelo de Merton (1974) para derivar la fórmula de la superficie que caracteriza la VIC. Concretamente, el modelo plantea que el spread 𝑠 de las opciones tipo put para los bonos soberanos depende de la varianza implícita (𝜎#), el grado de apalancamiento (𝐿), el tiempo restante de maduración del instrumento (𝑇 − 𝑡) y la tasa libre de riesgo (𝑟), así la función queda determinada por: 𝑠(𝜎#, 𝐿, 𝑇 − 𝑡, 𝑟) = 1𝑇 − 𝑡 𝑙𝑛 0𝑁(𝑑3) + 𝑁(−𝑑5)𝐿 6 (1) Donde, 𝐿7 = 𝐴7 9𝐷7𝑒<=(><7)?⁄ (2) Representa el nivel de apalancamiento del sector público, que se calcula a partir de la ratio entre los activos 𝐴7 y la deuda del sector público 𝐷7; la cual, considera la tasa libre de riesgo y el tiempo de maduración de los bonos. Por último, 𝑁(𝑑A) 𝑖 𝜖 {1, 2} es la distribución acumulada de un normal estándar con: 7 𝑑5 = −𝑙𝑛𝐿𝜎#√𝑇 − 𝑡 + 12𝜎#√𝑡 − 𝑡 (3) 𝑑3 = 𝑑5 − 𝜎#√𝑇 − 𝑡 (4) Kelly, Manzo y Palhares (2015) indican que la ecuación del spread es monótona creciente, lo que asegura la existencia de su función inversa dados los valores de 𝑟, 𝐿 y 𝑇 −𝑡. Por lo tanto, la volatilidad implícita con el spread observado ?̃?, está caracteriza por: 𝑉𝐼𝐶(?̃?, 𝐿, 𝑇 − 𝑡, 𝑟) = 𝑠<5(?̃?, 𝐿, 𝑇 − 𝑡, 𝑟) (5) 4. Consolidación de la información Esta sección presenta el detalle de la información que se necesitan para el cálculo de la ecuación 5, los cuales, incluyen el grado de apalancamiento del sector público en México, la tasa libre de riesgo de los bonos soberanos, el tiempo restante de maduración y el precio spread de las opciones put de dichos instrumentos. Dada la naturaleza y la disponibilidad de las cifras, se emplearon diferentes metodologías para completar la información requerida. A continuación, se especifican las fuentes de los datos y la estadística descriptiva de los mismos. En primer lugar, se describe el cálculo del grado de apalancamiento, el cual, se construye a partir de los activos y pasivos financieros del sector público en México (ver la ecuación 2). Para dimensionar los pasivos, se utiliza el indicador de la deuda neta del sector público, que a diferencia del saldo histórico de los requerimientos financieros del sector público (SHRFSP); no representa la totalidad de las obligaciones contraídas por el gobierno mexicano.4 Específicamente, se toman como pasivos financieros los montos de deuda neta pública consolidada por el Banco de México (Banxico); y al igual que Kelly, Manzo y Palhares 4 El Anexo explica de manera general la composición de dichos pasivos y propone medidas de apalancamiento alternativas. 8 (2015) para aquellos instrumentos que se asemejan a los bonos corporativos, se aproxima el grado de apalancamiento con la siguiente formula: 𝐿7 = 𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎7𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠7 + 𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎7 (6) La Gráfica 1 muestra que el grado apalancamiento del sector público se ha mantenido relativamente constante entre 2001 y 2016. Sin embargo, a mediados de 2008 se presentó un aumento de este indicador; consecuencia del incremento en el endeudamiento público, para cubrir la expansión del gasto público contra cíclico que ayudó a contrarrestar los efectos adversos de la crisis financiera global. Asimismo, el análisis realizó un ejercicio de ajuste a partir de los cambios en los instrumentos de deuda pública y donde se minimiza el error respecto al dato de cierre reportado; lo anterior, posibilita la creación de datos de apalancamiento con periodicidad diaria, bajo la consideración de que los activos permanecen constantes a lo largo de los meses del periodo de estudio. Por su parte, el tiempo restante de maduración se construyó a partir de datos históricos de los bonos soberanos que reporta Banxico. De acuerdo al modelo de Merton (1974), el tiempo restante de maduración está determinado por el instrumento referenciado. Por lo tanto, este indicador se calculó como el tiempo promedio diario de todos los bonos dividido entre 360 días. La Gráfica 2 señala que el tiempo restante de maduración de los bonos soberanos, al igual que el grado de apalancamiento, exhibió un cambio importante a mediados de 2008. Antes de junio de ese año, el tiempo restante de maduración era menor a 1,500; en tanto, posterior al cierre de 2008 se tiene un tiempo superior a los 3,000 días. Lo cual, se explica principalmente por el aumento de las emisiones de deuda y el tiempo de maduración que contemplan los nuevos instrumentos (ver Anexo). 9 Gráfica 1: Grado de apalancamiento del sector público Nota: Por construcción las cifras de cierre de cada mes son iguales a los datos diarios correspondientes. Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico. Gráfica 2: Número de días promedio que restan para la maduración de los bonos soberanos Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico. La información sobre los precios diarios o spread de las opciones de venta de los bonos soberanos mexicanos, se obtuvo de Bloomberg. La Gráfica 3 muestra que la trayectoria de los spreads diarios posee máximos locales en octubre de 2002 y a mediados de 2008, lo cual, corresponde al efecto conjugado de la desaceleración económica y el aumento del crédito público presente en esos años. Finalmente, el Cuadro 1 presenta la estadística descriptiva de los tres indicadores que se emplean para caracterizar la VIC; lo anterior, con una periodicidad mensual a partir de datos duros y con cifras construidas de frecuencia diaria. Si bien los estadísticos del promedio, el máximo y el mínimo son similares entre las dos frecuencias, la varianza es mayor para la información mensual en el grado de apalancamiento y el tiempo restante de maduración; mientras que para el spread, existe más varianza en la información de corte diario. 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 12/10/01 12/10/02 12/10/03 12/10/04 12/10/05 12/10/06 12/10/07 12/10/08 12/10/09 12/10/10 12/10/11 12/10/12 12/10/13 12/10/14 12/10/15 Datos mensuales Datos diarios (ajustados) 0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 12/10/01 12/10/02 12/10/03 12/10/04 12/10/05 12/10/06 12/10/07 12/10/08 12/10/09 12/10/10 12/10/11 12/10/12 12/10/13 12/10/14 12/10/15 10 Gráfica 3: Spread diario de opciones put de bonos soberanos por tiempo de maduración (puntos base – pb) Fuente: Elaboración propia con datos de Bloomberg. Cuadro 1: Estadística descriptiva del grado de apalancamiento, tiempo restante de maduración y spread los bonos soberanos del sector público Frecuencia Estadístico Apalancamiento (%) 𝑇 − 𝑡 (días) Spread (pb) Mensual Observaciones 169 162 169 Promedio 70 2,234 113 Varianza 0.1 1,285,340 3,464 Mínimo 62 14 28 Máximo 74 3,534 447 Diario Observaciones 3,657 3,641 3,919 Varianza 0.01 1,212,112 4,027 Mínimo 63 14 28 Máximo 79 3,545 577 pb – puntos base. Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico y Bloomberg. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 12/10/01 12/10/02 12/10/03 12/10/04 12/10/05 12/10/06 12/10/07 12/10/08 12/10/09 12/10/10 12/10/11 12/10/12 12/10/13 12/10/14 12/10/15 12/10/16 pu nt os b as e – pb 1 año 3 años 5 años 7 años 10 años Promedio Tiempo de maduración 11 5. Cálculo de la VIC Con los datos del apartado anterior, esta sección muestra los resultados de la construcción de la VIC de los bonos soberanos en México; esto a nivel mensual y con periodicidad diaria. En primera instancia, la Gráfica 4 expone el cálculo de la VIC con base en información mensual para un grado de apalancamiento constante y variable. Donde, se encuentra que la volatilidad es estable en el tiempo con un nivel de 0.2 y corresponde a un grado de apalancamiento alto como señalan Kelly, Manzo y Palhares (2015). Además, se comprueba lo que los autores establecen, al indicar que la evolución del spread se explica en mayor medida por el comportamiento de la VIC; en comparación con el grado de apalancamiento del sector público. De igual forma, la Gráfica 5 construye la VIC a partir de datos diarios y confirma que los movimientos del spread de los bonos soberanos se mantienen regidos por la evolución de la volatilidad implícita. Así, los resultados de las Gráficas 4 y 5 apuntan a la necesidad de crear un marco analítico para modelar aquellos factores que determinan la VIC, y con ello entender la formación de precios de los CDS de bonos soberanos en México. Gráfica 4: VIC y spread con información mensual (puntos base – pb) Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico y Bloomberg. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 01/01/03 01/01/04 01/01/05 01/01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 01/01/15 01/01/16 01/01/17 Sp re ad (p un to s ba se – pb ) Vo la til id ad VIC (L variable) VIC (L constante) Spread (pb) 12 Gráfica 5: VIC y spread con información diaria (puntos base – pb) Nota: La volatilidad implícita está calculada con un nivel de apalancamiento variable. Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico y Bloomberg. Una vez mostrada la relación entre el spread y la volatilidad implícita se han realizado diferentes estimaciones econométricas para motivar el modelo estocástico. Con este fin, se ha decidido mostrar los determinantes de la volatilidad implícita de los bonos soberanos en México. Se han realizado una serie de estimaciones para dimensionar y caracterizar los factores que determinan la volatilidad implícita así como el precio de los CDS. Se ha estimado el siguiente modelo lineal: VICU = α + βXU + γVU + LU + E + uU (7) Donde VICU es la volatilidad implícita de los bonos soberanos, β es el vector de estimadores para el vector de variables XU las cuales comprenden las siguientes: IGAE, Indicador Global de Actividad Económica; pasivo sobre activo financiero del sector público; reservas internacionales sobre PIB; tipo de cambio nominal y probabilidad de impago de Bloomberg. Los datos fueron tomados de manera mensual de enero de 2003 a enero de 2017. El vector de parámetros γ representa el vector estimado para las variables curtosis, asimetría y varianza de la volatilidad momentos estadísticos tomados de la distribución diaria de cada mes. Por último, el valor LU representa un conjunto de 12 rezagos, E representa un conjunto de variables dicotómicas por mes y año y uU es un error estadístico con varianza 1 media 0. 0 100 200 300 400 500 600 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 31/01/03 31/01/04 31/01/05 31/01/06 31/01/07 31/01/08 31/01/09 31/01/10 31/01/11 31/01/12 31/01/13 31/01/14 31/01/15 31/01/16 31/01/17 Sp re ad (p un to s ba se – pb ) Vo la til id ad VIC Spread (pb) 13 Se han estimado 5 modelos incorporando paulatinamente las diferentes variables. Como era de esperarse, el nivel de pasivo sobre el activo del sector público de México es significativo e impacta positivamente. Esto muestra como el nivel de deuda del sector público tiene un efecto sobre la posibilidad de pago lo que aumenta la incertidumbre de pagos lo que aumenta la volatilidad y por lo tanto el precio de los CDS. Aunado a lo anterior, el nivel de tipo de cambio, de igual forma, aumenta la posibilidad impago debido a que aumenta el costo financiero de la deuda extranjera. Por último, la varianza de la volatilidad en el mes es un indicador de la volatilidad el precio al fin de mes, forma en la que es medida la volatilidad implícita del mismo. Las variables rezagas de la volatilidad no son significativas lo que implica que la volatilidad no se encuentra ligada a efectos anteriores lo que apoya la idea de que dicho proceso es independiente en el tiempo. El Cuadro 2 muestra los resultados. Cuadro 2: Determinantes de la volatilidad implícita Modelo 1 2 3 4 5 Intercepto 0.079 0.006 -0.106 -0.045 0.011 0.406 0.948 0.276 0.687 0.928 IGAE 0.001 0.000 0.000 -0.001 -0.001 0.488 0.758 0.881 0.407 0.182 Pasivo/Activo 0.010 0.010 0.008 0.057 0.057 0.005 0.006 0.017 0.000 0.000 Reservas sobre PIB 1.042 0.233 0.423 0.373 0.001 0.557 0.317 0.371 Tipo de cambio 0.016 0.015 0.015 0.002 0.011 0.014 Probabilidad de impago de Bloomberg -0.306 -0.130 0.798 0.916 Curtosis 0.001 0.720 Asimetría 0.000 0.933 Varianza 0.001 0.069 Efectos fijos por año Si Si Si Si Si Efectos fijos por mes Si Si Si Si Si Rezagos sobre la volatilidad Si Si Si Si Si 14 R2 0.730 0.755 0.775 0.970 0.975 Observaciones 150 150 150 57 57 Fuente: Elaboración propia. Los determinantes en su conjunto apuntan a que el nivel de apalancamiento y un proceso no inherente al spread como lo son los factores de tipo de cambio nominal o nivel de reservas internacional afectan la volatilidad. Asimismo, la varianza de la volatilidad implícita también juega un papel relevante, de esta manera se motiva un modelo que capture el proceso estocástico de los spreads. 6. Modelo estructural Mientras que el apartado anterior, señala que la VIC posee un fuerte poder explicativo para el spread de las opciones put de los bonos soberanos de México; esta sección aborda el modelo estructural que sirve para determinar el comportamiento de la VIC. En este contexto, en primer lugar, se presenta la importancia que tienen los saltos en la distribución para precisar la evolución de la volatilidad implícita. Donde éstos, implican que los inversionistas perciben riesgos asociados a la tenencia de los instrumentos gubernamentales. Se propone una modelo estructural en un sentido de modelación sobre el proceso estocástico. Este modelo permite aterrizar parámetros de un proceso estocástico sobre el crecimiento de los activos de gobierno para finalmente ser evaluado y obtener los Spreads de los CDS. Al modelar este proceso es posible disciplinar un modelo de crecimiento de los activos y por lo tanto de los precios de CDS soberanos. Por otro lado, la frecuencia de la información tiene un papel fundamental para determinar el proceso estocástico que gobierna el comportamiento de la VIC. Así, es preferible conducir el modelo con datos de corte diario para capturar los movimientos de un proceso estocástico de alta frecuencia; ya que esto, permite identificar el vínculo que existe entre dicho proceso y los ciclos económicos, o las condiciones de la economía. Para el modelo estructural, el crecimiento de un activo está dado por: 𝑑𝐴7 = 𝐴7[𝑟 − 𝜆7𝜉`]𝑑𝑡 + 𝐴7b𝑣7𝑑𝑊7` + 𝐴7<[(𝑒A,  ž5 𝜕3𝜕𝑥A𝜕𝑥 Až5 + 𝜆7𝐸[𝐺(𝑥 + 𝑞𝑚)− 𝐺(𝑥)] 7 Es importante considerar que la fórmula de Feynman-Kac se encuentra en logaritmos. Por lo que, al retomar el modelo original, el salto en la distribución está dado por 𝐴(𝑢) – 𝐴(𝑢 −) = 0 si 𝑑𝐽(𝜆7) = 0, o 𝐴(𝑢) – 𝐴(𝑢 −) = (𝑗 − 1) 𝐴(𝑢 −) si 𝑑𝐽(𝜆7)=1; lo que implica que 𝐴(𝑢) = 𝑗𝐴(𝑢 −). Por lo que de tomar los respectivos logaritmos 𝑙𝑛[𝐴(𝑢)]– 𝑙𝑛[𝐴(𝑢 −)] = 𝑞𝑚, se tiene que el valor esperado está dado por: 𝜆7𝐸[𝐺(𝑥 + 𝑞𝑚) − 𝐺(𝑥)] = 𝜆7𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 Así, el valor esperado sobre la variable 𝑞𝑚 es el valor esperado de una distribución normal logarítmica, debido a que, 𝐸[𝐺(𝑥 + 𝑞𝑚) − 𝐺(𝑥)] = 𝐸£𝑒’d`¤ = 𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 17 Al reacomodar los términos de la anterior ecuación, se obtiene que: 𝑣7 ¥12𝜙3 − 𝜙𝜀`𝑎 − 𝑎 + 𝑎𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 + (𝜙𝜌𝜎h − ϗh)𝐹5 + 12𝜎h3𝐹53 − 𝐹5™¦+ 𝑧7 ¥−𝜙𝜀` − 1 + 𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 − ϗj𝐹3 + 12𝜎j3𝐹33 − 𝐹3™¦ + ϗh𝜃h𝐹5+ ϗj𝜃j𝐹3 − 𝐹š™ = 0 (18) Lo que implica las siguientes tres ecuaciones: 12𝜙3 − 𝜙𝜀`𝑎 − 𝑎 + 𝑎𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 + (𝜙𝜌𝜎h − ϗh)𝐹5 + 12𝜎h3𝐹53 − 𝐹5™ = 0 (19) −𝜙𝜀` − 1 + 𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 − ϗj𝐹3 + 12𝜎j3𝐹33 − 𝐹3™ = 0 (20) ϗh𝜃h𝐹5 + ϗj𝜃j𝐹3 − 𝐹š™ = 0 (21) Lo primero que resalta, es que estas ecuaciones ya no son funciones de las variables de estado, sino de parámetros y funciones que se definieron sobre la función 𝐺 explícita. Al seguir la metodología de Sepp (2003), las primeras dos igualdades pueden expresarse como ecuaciones diferenciales de segundo grado al utilizar que, 𝐹A = 𝑌A′(𝜏)𝐶A𝑌A(𝜏) (22) Para 𝑖 𝜖 {1,2}, donde 𝑌 es una función sobre 𝜏 y 𝐶A que representa un factor constante multiplica al termino cuadrático. Al aplicar dicha sustitución, se obtienen las siguientes dos soluciones: 18 12𝜎h3 ¥12𝜙3 − 𝜙𝑎𝜀` + 𝑎𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 − 𝑎¦𝑌5(𝜏) − (𝜙𝜌𝜎h − ϗh)𝑌5™(𝜏) + 𝑌5™™(𝜏) = 0 (23) 12𝜎j3 ¥−𝜙𝜀` + 𝑒0’„˜‚ƒ„3 …’†‚ƒ6 − 1¦𝑌3(𝜏) + ϗj𝑌3™(𝜏) + 𝑌3™™(𝜏) = 0 (24) Y ambas ecuaciones tienen una solución general en el campo de los números reales,8 𝑌5(𝜏) = 𝐶5,5𝑒53©•ª + 𝐶5,3𝑒53©•« (25) 8 La solución está caracterizada de forma general para las ecuaciones diferenciales de segundo orden de Riccati. En este caso se considera que la solución es un número real. Luego entonces, se suponen las siguientes ecuaciones: 𝑎𝑍™™ + 𝑏𝑍™ + 𝑐𝑍 = 0 𝑍 = 𝑒®Ž Con ello se logra que, 𝑍™ = 𝛽𝑒®Ž 𝑍′′ = 𝛽3𝑒®Ž Lo que implica, 𝑎𝛽3𝑒®Ž + 𝑏𝛽𝑒®Ž + 𝑐𝑒®Ž = (𝑎𝛽3 + 𝑏𝛽 + 𝑐)𝑒®Ž = 0 Debido a que 𝑒®Ž > 0. Entonces se tiene que, 𝑎𝛽3 + 𝑏𝛽 + 𝑐 = 0 Por lo tanto, la solución está dada por: 𝛽5 = −𝑏 + √𝑏3 − 4𝑎𝑐2𝑎 𝛽3 = −𝑏 − √𝑏3 − 4𝑎𝑐2𝑎 En el caso particular de los números reales se tiene que si 𝑏3 − 4𝑎𝑐 > 0 entonces, 𝑍 = 𝐶5𝑒®•Ž + 𝐶3𝑒®„Ž Si 𝑏3 − 4𝑎𝑐 = 0 implica que, 𝑍 = 𝐶5𝑒®Ž + 𝐶3𝑥𝑒®Ž Con 𝛽 = −𝑏/2𝑎. Finalmente, para una solución compleja se tiene que: 𝑍 = 𝐶5𝑒(³•…A³„)Ž + 𝐶3𝑒(³•